درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی و آمار (2) کلاس یازدهم انسانی و معارف
درس 1: شاخصهای آماری
بسیاری از مواقع، کمّیتهایی وجود دارند که میتوانند معرف پارامتر جامعه باشند.
آیا میتوانید چند کمّیت را که در سال قبل با آنها آشنا شدید، نام ببرید؟ نام این کمّیتها چه بود؟
فعالیت (صفحه 56 کتاب درسی)
نمونهگیری از هزینه و درآمد خانوارها، یکی از مهمترین طرح های آمارگیری در هر کشوری است. آیا تا کنون فکر کردهاید متوسط درآمد ماهانهٔ خانوارهای یک کشور را چگونه محاسبه میکنند؟ سرشماری، روشی مقرون بهصرفه برای گردآوری دادهها به منظور پاسخ به این سؤال نیست.
در اینجا صورت سادهتر آن را در نظر میگیریم. فرض کنید، میخواهیم متوسط درآمد کارکنان یک مؤسسهٔ تجاری را محاسبه کنیم. ده نفر از کارکنان را بهصورت تصادفی انتخاب میکنیم. اگر درآمد ماهانهٔ ده نفر برحسب هزار تومان بهصورت زیر باشد، میانگین و میانهٔ درآمد ماهانهٔ آنها چه قدر است؟
هیئت مدیرهٔ مؤسسهٔ تجاری تصمیم دارد به کارکنانی که درآمد کمتری دارند، یارانه پرداخت کند. به نظر شما به چه کسانی باید یارانه پرداخت شود؟ اگر تعداد اعضای خانوار هر عضو نمونه بهصورت زیر باشد، میانگین و میانهٔ درآمد هر یک از افراد چهقدر است؟ آیا با داشتن این دادهها نظر شما دربارهٔ سؤال قبل تغییر کرده است؟ یعنی به کدامیک از کارکنان مؤسسه یارانه پرداخت کنیم؟
| ردیف | درآمد ماهانه (هزار تومان) | تعداد اعضای خانوار | متوسط درآمد اعضای خانوار |
| 1 | 1000 | 3 | |
| 2 | 3000 | 4 | |
| 3 | 1000 | 1 | |
| 4 | 4000 | 5 | |
| 5 | 3000 | 1 | |
| 6 | 3000 | 7 | |
| 7 | 2000 | 3 | |
| 8 | 1000 | 4 | |
| 9 | 2000 | 2 | |
| 10 | 1000 | 1 |
کار در کلاس (صفحه 57 کتاب درسی)
در فعالیت قبل، خط فقر را به دو روش ذکر شده محاسبه کنید. هیئت مدیرهٔ مؤسسهٔ تجاری تصمیم دارد مقدار یارانه را بر اساس نصف میانه محاسبه کند. به هر یک از کارکنان، چه مقدار یارانه بدهند که خانوادهٔ او حداقل درآمدی بیش از خط فقر داشته باشد؟
کار در کلاس (صفحه 57 کتاب درسی)
خط فقر بینالمللی توسط بانک جهانی در سال جاری، در حدود چهار هزار تومان (1/25 دلار آمریکا) برای هر نفر در روز تعیین شده است.
1) در فعالیت قبل، چند خانوار، درآمدی کمتر از چهار هزار تومان دارند.
2) اگر درآمد یک خانوار سه نفری در یک ماه، دو میلیون تومان باشد، این خانوار طبق این تعریف چه وضعیتی دارد؟
3) متوسط درآمد ماهانهٔ یک خانوار سهنفره در ماه، باید حداقل چهقدر باشد تا شخص فقیر نباشد؟
4) در فعالیت قبل، میزان یارانه را با خط فقر بینالمللی برای هر یک از کارکنان محاسبه کنید.
5) چه موقع دو روش محاسبهٔ خط فقر، تفاوت زیادی با هم دارند؟ چرا؟
شاخصها نه تنها مانند جدولهای فراوانی و نمودارها، متغیرهای دادهها را خلاصه میکنند، بلکه واقعیتهای مفیدی دربارهٔ جامعه را به سادگی به ما نشان میدهند و امکان مقایسه را فراهم میکنند. مثلاً خط فقر، شاخصی است که افرادی را که حداقل درآمد برای زندگی را ندارند، مشخص میکند. این شاخص به ما کمک میکند در طی زمان، امکان بررسی تأثیر سیاستهای دولتها برای فقرزدایی را رصد کنیم.
فعالیت (صفحه 58 کتاب درسی)
میخواهیم با پرداخت یارانهٔ ثابت به خانوارها تعداد کسانی را که درآمدی کمتر از خط فقر دارند، کاهش دهیم. اگر بودجهٔ این کار ثابت باشد، به نظر شما آیا آن را بین همهٔ خانوارها تقسیم کنیم یا بین خانوارهایی که درآمدی کمتر از خط فقر داشتهاند؟ پاسخ خود را برای خط فقر بینالمللی نیز بیان کنید.
فرض کنید هدف ما کنترل فقر با شاخص بینالمللی آن باشد و تصمیم گرفتهایم که به خانوارهایی که درآمدی کمتر از خط فقر دارند، یارانه دهیم. آیا با این تصمیم به هدف خود رسیدهایم؟ برای پاسخ دقیقتر به این سؤال، نیاز به معرفی شاخص دیگری داریم. در ادامه نمودار پراکنش نگاشت شاخصبهای کالاها و خدمات مصرفی مناطق شهری ایران در طی 5 سال متوالی رسم شده است. این شاخص بر اساس متوسط هزینهٔ حدود 400 نوع کالا، خوراکی و خدمات برای هر ماه محاسبه میشود، که از آن جمله میتوان به هزینههای مسکن، پوشاک، سلامت، غذا، حمل ونقل و تحصیل اشاره کرد. البته موارد ذکر شده دارای اهمیت یکسانی در محاسبه نیستند.
این شاخص نسبت به یک سال پایه محاسبه میشود، که ارقام ذکر شده در نمودار، درصد تغییرات نسبت به سال پایهٔ 1390 است.
کار در کلاس (صفحه 59 کتاب درسی)
1) در نمودار شاخصبهای کالاها و خدمات، محور طولها نشاندهنده ........ و محور عرضها نشاندهنده ........ است.
2) شاخصبهای کالاها و خدمات به واحد اندازهگیری بستگی.....
3) به نظر میرسد افزایش شاخصبهای کالاها و خدمات نشان دهنده ...... شدن هزینهٔ اقلام خوراکی و.............است.
4) شاخصبهای کالاها و خدمات بر اساس تعداد ..... متغیر محاسبه میشود.
5) اهمیت شاخصبهای کالاها و خدمات چیست؟
حال به سؤال قبل باز میگردیم. آیا پرداخت یارانهٔ ثابت طی سالهای آتی (مثلاً 45000 تومان بهازای هر نفر) میتواند در همهٔ این مدت، درآمد خانوار را بیشتر از خط فقر نگه دارد؟
تورّم، یکی از مهمترین مفاهیم اقتصادی است که شما به آسانی میتوانید درک کنید. تورّم بر زندگی تکتک ما اثرگذار است.
اقتصاددانان و آماردانان با کمک یکدیگر، میزان تورّم یا تغییرات سطح قیم تها را با استفاده از «شاخص بهای کالاها و خدمات» محاسبه می کنند. برای این کار، شاخصبهای کالاها و خدمات یک سال را با سالهای قبل مقایسه میکنند. به نظر شما رابطهٔ بین تورّم و شاخصبهای کالاها و خدمات چیست؟
از تفاضل شاخص در سال مورد نظر و شاخص در سال پایه، افزایش قیمتها به درصد در فاصلهٔ بین سال پایه و سال مورد نظر به دست میآید، که به نرخ تورّم میگویند. برای مثال قبل، نرخ تورّم بهصورت زیر محاسبه میشود.
$ = 140/5 - 100 = 40/5{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \bullet $}
\kern-0.1em/\kern-0.15em
\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle \bullet $}}$ [(شاخص بهای گوشت و نان در سال پایه) - (شاخص بهای گوشت و نان در سال مورد نظر)] $ = $ نرخ تورّم
کار در کلاس (صفحه 60 کتاب درسی)
از مدرسه به خانه برمیگشتم و داشتم از کنار دکهٔ روزنامه فروشی رد میشدم که جملهٔ درشت یکی از روزنامهها نظرم را جلب کرد: «در صورتی که رشد اقتصاد سالانه یک درصد باشد، در سال 1400 نرخ (شاخص) بیکاری تحصیلکردگان آموزش عالی به 48 درصد خواهد رسید».
با خودم گفتم پس در زمانی که ما قرار است شاغل شویم، احتمالِ یافتن شغل، پنجاه - پنجاه است. تا به حال به این مسئله توجه نکرده بودم و فکر میکردم اگر درس بخوانم، شغل خوبی خواهم داشت و میپنداشتم درس خواندن سخت است! اما نسبت به کار پیدا کردن خیلی راحتتر است.
این جمله را با معلم درس آمار در میان گذاشتم. او گفت: نرخ بیکاری عبارت است از نسبت جمعیت بیکار به جمعیت فعال. این نرخ با رشد اقتصادی پنج درصد نیز محاسبه شده و اگر رشد اقتصادی 5 درصد برای کشور بهدست آید، نرخ بیکاری تحصیلکردگان به 36 درصد میرسد. سپس او با یک توضیح و چند سؤال، نظرم را دربارهٔ همهٔ ماجرا عوض کرد.
بیکار به فردی بالای 16 سال میگویند که بهطور موقت بیکار شده یا در جستوجوی شغل باشد یا منتظر شروع یک کار جدید از تاریخ مشخصی باشد. این تعریف برای تمام کشورها یکسان است.
به نظر شما آیا شاخص بیکاری برای چهار زیرگروه رشتههای تحصیلی یکسان است؟ در هر رشته چطور؟
تمرین (صفحه 61 تا 62 کتاب درسی)
1) اگر میانگین درآمد خانوارهای کشور 35 میلیون ریال باشد، حداقل حقوق دریافتی کارکنان یک شرکت چهقدر باشد تا هیچ کارمندی در آن شرکت زیر خط فقر نباشد؟ چه زمانی از میانهٔ درآمد خانوارها برای محاسبهٔ خط فقر استفاده میکنیم؟
2) خانوادهای شش نفره در یکی از کشورهای در حال توسعه زندگی میکنند. با توجه به تعریف خط فقر بینالمللی، درآمد ماهانهٔ این خانواده باید چند دلار باشد تا زیر خط فقر نباشند؟
3) در یک منطقه 1200 نفر از افراد 16 ساله و بیشتر شاغلاند. در این منطقه 200 نفر 16 ساله و بیشتر جویایکار میباشند.
الف) نرخ بیکاری در این منطقه چهقدر است؟
ب) حداقل چند شغل در این منطقه باید ایجاد شود تا نرخ بیکاری منطقه برابر با 5 درصد باشد؟
4) خانواده آقای صالحی در ماه فروردین سال 1390، پانصد هزارتومان هزینهٔ ماهانهٔ مسکن، آب، برق، گاز و سایر سوختها داشته است. در همان تاریخ، هزینهٔ ماهانهٔ خوراکیها و آشامیدنیهای این خانواده دویست و پنجاه هزارتومان بوده است. اگر تعداد افراد این خانواده تغییری نکرده باشد، بر مبنای نمودار شاخص بهای کالا و خدمات مصرفی موارد زیر را بهطور تقریبی محاسبه کنید.
الف) هزینهٔ ماهانهٔ مسکن، آب، برق، گاز و سایر سوختهای این خانواده در خردادماه 1393
ب) هزینهٔ ماهانهٔ خوراکیها و آشامیدنیهای این خانواده در مهرماه 1395
5) نماتوپ یا شاخص تودهٔ بدنی که در سال گذشته آن را در کتاب ریاضی و آمار خود دیدید، یکی دیگر از شاخصهای مهم آماری است که به شاخص سلامت معروف است. برای محاسبهٔ آن باید وزن فرد به کیلوگرم را بر توان دوم قدش بر حسب متر تقسیم کرد.
جدول زیر، اطلاعات خانوادهٔ صالحی را نشان میدهد.
| عضو خانواده | سن (سال) | وزن (کیلوگرم) | قد (سانتیمتر) |
| صالح | 17 | 62 | 177 |
| برادر | 22 | 85 | 183 |
| خواهر | 25 | 53 | 170 |
| مادر | 50 | 60 | 165 |
| پدر | 55 | 81 | 174 |
اکنون با توجه به جدول بالا مشخص کنید کدام یک از افراد این خانواده وزن مطلوبی دارد؟
6) در موقع خرید کتابهای داستان، معمولاً به ردهٔ سنی آن توجه میکنیم. به نظر شما ردهٔ سنی را چگونه تعیین میکنند؟ آیا نظر همهٔ افراد با تجربه درباره سطح یک متن بخصوص، یکسان است؟ ارزیابی آنها کیفی است یا کمّی؟
یکی از شاخصهای خوانایی که سالهای تحصیل خوانندهٔ متون انگلیسی را تخمین میزند، بهصورت زیر تعریف شده است.
شاخص پایهٔ آموزش $ = $ $]$ 0/4 $ \times $ (میانگین تعداد کلمات در هر جمله $ + $ درصد کلمات «دشوار») $[$
که منظور از کلمات «دشوار» کلمات دو هجایی بدون در نظر گرفتن اسامی و کلمات آسان است. این شاخص عددی از 1 تا 12 است که نشان دهندهٔ پایهٔ تحصیلی است.
الف) برای کتابی با متوسط طول جملههای 8 کلمهای و 20 درصد کلمهٔ دشوار، شاخص پایهٔ آموزش را محاسبه کنید. این کتاب، برای دانشآموزان چه پایهای مناسب است؟
پاسخ: این کتاب برای دانشآموزانی مناسب است که پایهٔ ..... را به پایان رساندهاند.
ب) مزایا و محدودیتهای این شاخص چیست؟
پاسخ: استفاده از این شاخص، آسان است. با این حال، فرض میکند که کلمات بزرگتر و جملههای طولانیتر باعث …… شدن متن میشوند، اما یک نویسندهٔ چیرهدست میتواند با کلمات و جملههای دیگری باعث …… متن شود.
پ) همانگونه که متوجه شدهاید، این شاخص براساس دو آمار از دو متغیر تعریف شده است. آنها را نام ببرید.
7) هزینههای زندگی خانواده آقای صالحی در سال 1390 در جدول زیر آمده است. با توجه به نمودار شاخص بهای کالاها و خدمات مصرفی، جدول زیر را کامل کنید.
| 1390 | مهرماه 1393 | دیماه 1396 | |
| هزینهٔ خوراکیها و آشامیدنیها (برحسب هزار تومان) | 210 | $\frac{{210 \times 225}}{{100}} = 472/50$ | |
| هزینهٔ کل (برحسب هزار تومان) | 850 | $\frac{{........ \times 202}}{{100}} = ........$ |
8) شاخص پوسیدگی دندان (DMFT) در سال 1360 در ایران برابر با 3 بوده است؛ یعنی هر ایرانی بهطور متوسط دارای یک دندان کشیده شده، یک دندان پوسیده و یک دندان پُر شده است. این شاخص در سال 1395 برابر با 6 شده است. شاخص در سال 1395 چند درصد افزایش داشته است؟ این شاخص در سال 1360 نسبت به سال 1395 چند درصد کاهش داشته است؟